PERSONAJE

EUCLIDES

(330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. 

330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. Junto con Arquímedes y Apolonio de  Perga, posteriores a él, Euclides fue pronto incluido en la tríada de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Sin embargo, a la luz de la inmensa influencia que su obra ejercería a lo largo de la historia, hay que considerarlo también como uno de los más ilustres de todos los tiempos.

Euclides pese a que realizó aportaciones y correcciones de relieve, Euclides ha sido visto a veces como un mero compilador del saber matemático griego. En realidad, el gran mérito de Euclides reside en su labor de sistematización: partiendo de una serie de definiciones, postulados y axiomas, estableció por rigurosa deducción lógica todo el armonioso edificio de la geometría griega. Juzgada no sin motivo como uno de los más altos productos de la razón humana y admirada como un sistema acabado y perfecto, la geometría euclidiana mantendría su vigencia durante más de veinte siglos, hasta la aparición, ya en el siglo XIX, de las llamadas geometrías no euclidianas.

Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que permitiría explicar su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.

Euclides enseñó en Alejandría, donde abrió una escuela que acabaría siendo la más importante del mundo helénico, y alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Sóter, fundador de la dinastía ptolemaica que gobernaría Egipto desde la muerte de Alejandro Magno hasta la ocupación romana. Se cuenta que el rey lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría. Este epigrama, sin embargo, se atribuye también al matemático Menecmo, como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno.

La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido asimismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje. Euclides le explicó que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma; y dado que el muchacho tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios, ordenó a un sirviente que le diera unas monedas.

Los Elementos de Euclides

Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), a las que superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito.

De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría plana o elemental. En ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas en la escuela de Pitágoras para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas; se incluye también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo.

Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas: las principales propiedades de la teoría de los números (divisibilidad, números primos), los conceptos de conmensurabilidad de segmentos a sus cuadrados y las cuestiones relacionadas con las transformaciones de los radicales dobles. Los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que habían sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.

De las restantes obras de Euclides sólo poseemos referencias o breves resúmenes de comentaristas posteriores. Los tratados sobre los Lugares superficiales y las Cónicas ya contenían, al parecer, algunos de los resultados expuestos posteriormente por Apolonio de Perga. En los Porismas se desarrollan los teoremas geométricos denominados actualmente de tipo proyectivo; de esta obra sólo conservamos el resumen trazado por Pappo de Alejandría. En Óptica y Catóptrica se estudiaban las leyes de la perspectiva, la propagación de la luz y los fenómenos de reflexión y refracción.Dos mil años de vigencia

La influencia posterior de los Elementos de Euclides fue decisiva; tras su aparición, se adoptó de inmediato como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides. Tras la caída del Imperio Romano, su obra fue preservada por los árabes y de nuevo ampliamente divulgada a partir del Renacimiento.

Más allá incluso del ámbito estrictamente matemático, Euclides fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como Galeno, para la medicina, o Spinoza, para la ética. Ello sin contar la multitud de filósofos y científicos de todas las épocas que, en su búsqueda de sistemas explicativos de validez universal, tuvieron en mente el admirable rigor lógico de la geometría de Euclides.

De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.

La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, llamado de las paralelas. Según este postulado, por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela a dicha recta. Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrar el quinto postulado como teorema.

Los esfuerzos por hallar una demostración resultaron infructuosos y prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando algunos trabajos inéditos de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y las investigaciones del matemático ruso Nikolai Lobachevski (1792-1856) evidenciaron que era posible definir una geometría perfectamente consistente (la geometría hiperbólica) en la que no se cumplía el quinto postulado. Se iniciaba así el desarrollo de las geometrías no euclidianas, de entre las que destaca la geometría elíptica del matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866), juzgada por Albert Einstein como la que mejor representa el modelo de espacio-tiempo relativista.

EUCLID

(330 a.C. - 275 a.C.) Greek mathematician. Along with Archimedes and Apollonius of Perga, after him, Euclid was soon included in the triad of the great mathematicians of antiquity. However, in light of the immense influence that his work exerted throughout history, we must also consider him as one of the most illustrious of all time. Euclid although he made contributions and corrections of relief, Euclid has sometimes been seen as a mere compiler of Greek mathematical knowledge. In fact, the great merit of Euclid resides in his work of systematization: starting from a series of definitions, postulates and axioms, established by rigorous logical deduction all the harmonious building of Greek geometry. Judged not without reason as one of the highest products of human reason and admired as a finished and perfect system, Euclidean geometry would maintain its validity for more than twenty centuries, until the appearance, already in the nineteenth century, of the so-called geometries Not Euclidean Little is known about a certain science of Euclid's biography, despite being the most famous mathematician of antiquity. It is probable that he was educated in Athens, which would explain his good knowledge of the geometry elaborated in the school of Plato, although he does not seem to be familiar with the works of Aristotle.

Euclid taught in Alexandria, where he opened a school that ended up being the most important in the Hellenic world, and achieved great prestige in the exercise of its magic during the reign of Ptolemy I Sóter, founder of the Ptolemaic dynasty that ruled Egypt since the death of Alexander the Great until the Roman occupation. It has been requested that the king requires that the screen has been opened to access knowledge of mathematics, which means that there is no way to access geometry. This epigram, however, is also attributed to the mathematician Menecmo, as a reply to a similar demand by Alexander the Great.

The tradition has preserved an image of Euclid as a man of remarkable kindness and modesty, and has conveyed a similar relationship with respect to his teaching, by Juan Estobeo: a young beginner in the study of geometry who wondered what he would gain from his learning. Euclid explained that the acquisition of knowledge is always valuable in itself; and since the boy had the pretension of obtaining some result of his studies, he ordered a servant to give him some coins.

The Elements of Euclid

              

Euclid was the author of several treatises, but his name is mainly associated with one of them, the Elements, which rivals by its diffusion with the most famous works of universal literature, such as the Bible or Don Quixote. It is, in essence, a compilation of works by previous authors (including Hippocrates of Chios), which immediately surpassed by its overall plan and the magnitude of its purpose.

Of the thirteen books that compose it, the first six correspond to what is still understood as flat or elementary geometry. In them Euclid collects the geometric techniques used in the school of Pythagoras to solve what today are considered examples of linear and quadratic equations; it also includes the general theory of proportion, traditionally attributed to Eudoxo.

The seventh to tenth books deal with numerical issues: the main properties of number theory (divisibility, prime numbers), the concepts of segment commensurability to their squares, and questions related to the transformations of double radicals. The remaining three deal with the geometry of the solids, culminating in the construction of the five regular polyhedral and their circumscribed spheres, which had already been the subject of study by Theaetetus.

Of the remaining works of Euclid we only have references or brief summaries of later commentators. The treaties on Surface places and the Conics already contained, apparently, some of the results later exposed by Apollonius of Perga. In the Porismas the geometric theorems called currently of projective type are developed; of this work we only conserve the summary traced by Pappo of Alexandria. In Optics and Catoptric the laws of perspective, the propagation of light and the phenomena of reflection and refraction were studied. Two thousand years of validity.

The subsequent influence of the Elements of Euclid was decisive; after its appearance, it was adopted immediately as an exemplary textbook in the initial teaching of mathematics, which fulfilled the purpose that should have inspired Euclid. After the fall of the Roman Empire, his work was preserved by the Arabs and again widely disseminated after the Renaissance. Beyond even the strictly mathematical realm, Euclid was taken as a model, in his method and exposition, by authors such as Galen, for medicine, or Spinoza, for ethics. Not to mention the multitude of philosophers and scientists of all ages who, in their search for explanatory systems of universal validity, had in mind the admirable logical rigor of

Euclid's geometry.

In fact, Euclid established what, from his contribution, was to be the classical form of a mathematical proposition: a statement deduced logically from previously accepted principles. In the case of the Elements, the principles taken as a starting point are twenty-three definitions, five postulates and five axioms or common notions.

The nature and scope of these principles have been the subject of frequent discussion throughout history, especially as regards the postulates and, in particular, the fifth postulate, called parallel. According to this postulate, a point outside a line can only be traced one parallel to said line. Its different condition from the other postulates was already perceived from the same Antiquity, and there were various attempts to prove the fifth postulate as a theorem.

Efforts to find a demonstration were unsuccessful and continued until the 19th century, when some unpublished works by Carl Friedrich Gauss (1777-1855) and the investigations of the Russian mathematician Nikolai Lobachevski (1792-1856) showed that it was possible to define a perfectly consistent geometry (the hyperbolic geometry) in which the fifth postulate was not fulfilled. Thus began the development of non-Euclidean geometries, among which stands out the elliptical geometry of the German mathematician Bernhard Riemann (1826-1866), judged by Albert Einstein as the one that best represents the relativistic model of space-time.