Reseñas

RESEÑAS

    Civilización Egipcia:

En medio del desierto surgió una de las civilizaciones más espléndidas de la historia. Los egipcios fueron un pueblo que no solo florecieron intelectualmente, sino que también se adelantaron a muchas cosas que conocemos hoy en día como el arte, conocimientos acerca del cultivo, creencias astronómicas, y su gran aporte a las matemáticas de hoy.  Lograron hacer de su cultura un imperio casi impenetrable, claro que esto no fue de la noche a la mañana, sino que fue fruto del esfuerzo que tuvieron durante muchos años, quizá siglos, recopilando y adoptando aspectos, datos y cosas de otras culturas.

Los egipcios tuvieron grandes aportaciones para las matemáticas como el sistema decimal, supieron calcular la superficie, el volumen de pirámides, cilindro y esfera, álgebra, en la astronomía el calendario solar, relojes de sol (gnomos) y agua (clepsidras).

Números

En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeración. Uno, escrito en jeroglíficos, era un sistema decimal, con signos distintos para 10, 100,1000, etc., que se usó en el periodo Predinástico. El segundo, el sistema hierático, escrito con un nuevo tipo de cifras que asimilaba un número a un símbolo, se diferenció del sistema jeroglífico por simplificar los símbolos para poder escribir más rápido, y comenzó alrededor 2150 a. C.

Geometría: La palabra Geometría alude a "medir la tierra". En Egipto, año tras año, el Nilo inundaba los campos, destruyendo con su limo las divisiones cuidadosamente trazadas. Cuando las aguas volvían a su cauce, los agricultores debían trazar de nuevo los límites de las propiedades de cada propietario. Los agricultores y constructores de pirámides trazaban líneas perpendiculares sobre el terreno, utilizando una cuerda de doce nudos equidistantes. Con este método dibujaban en el suelo triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5.Para la construcción de las impresionantes pirámides, cubiertas de jeroglíficos, los egipcios obtienen fórmulas que aplican según sus necesidades. El enunciado de uno de los 28 problemas del papiro de Moscú, parece corroborar que los egipcios conocían la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide: Siendo a, b las longitudes de los lados de la base de la pirámide y h la altura.

El álgebra en el Antiguo Egipto

(5000-500 a.C.). En Egipto los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matemática, Sus exigencias vitales, sujetas a las periódicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la Aritmética y la Geometría. En el papiro de Rhind, el más maravilloso y antiguo documento matemático que existe, debido al escriba Ahmes (1650 a. C), representan entre múltiples problemas, soluciones de ecuaciones de segundo grado. Los saberes matemáticos en el Antiguo Egipto tuvieron un origen práctico. Alcanzaron un gran nivel en las manipulaciones aritméticas pero sus métodos eran toscos y sin grandes generalizaciones. Casi no hay simbolismo y los egipcios eran poco dados a investigaciones abstractas. Trabajaron sobre todo en geometría y aritmética.

2.      Civilización Maya:

 Quizá su necesidad de precisión para medir el tiempo y entender el cielo fue el motor de la maestría de los mayas por las matemáticas. El cielo, y el tiempo, fueron conjuntamente temas fundamentales que fascinaron a los mayas. Para el estudio de ambos, fue necesario contar con herramientas de conteo muy precisas, y quizá por ello los mayas desarrollaron su estudio de las matemáticas quizá como ninguna otra civilización en el mundo. Sobre su desarrollo matemático, los mayas llamaron la atención del mundo, entre otras por las siguientes notables características:

·         Crearon el cero

Pareciera algo obvio, el uso del cero. Aunque lo curioso es que la abstracción que representa el cero en realidad parte de un gran entendimiento, tanto para la representación de números complejos, como en la comprensión que representa que también pueda haber números negativos. Esto que pareciera una obviedad, en realidad se trata de una herramienta básica que facilita enormemente la comprensión del universo de los números. Al parecer solo dos culturas consiguieron desarrollar la abstracción del cero: la maya y la hindú, aunque los mayas se adelantaron unos 600 años.

·         Desarrollaron símbolos de conteo simplificados

La manera en que los mayas consiguieron representar la infinidad de números con solo tres signos es impresionante, y muy astuta. Los únicos signos son: un punto, una barra y un símbolo para el cero.  A su sistema se le conoce como vigesimal, es decir, hacían agrupaciones de 20 en 20 y este número podía potenciarse para leer una cifra más grande. Muy parecido a la manera en que nosotros indicamos un número a la potencia como  al cuadrado o al cubo (aunque solo a partir de 3 símbolos).

·         Crearon el ábaco Maya

La sencillez de sus signos para hacer cuentas hizo posible que estos fueran fácilmente representados, y el lienzo puede ser casi cualquier cosa, desde la tierra a una piedra plana; los símbolos, además, pueden encontrarse fácilmente en la naturaleza, baste encontrar palos y materiales con forma de circunferencia.

También se les atribuye a los mayas la creación del Nepohualtzintzin (este es su nombre en náhuatl), ábaco conformado por una cuadrícula hecha con varillas y semillas que representaban los números. Cada parte superior de la varilla tiene 3 cuentas (cada una con un valor de cinco unidades) y 4 cuentas en la parte inferior (cada una valía 1 unidad). Esta creación maya fue también empleada por los mexicas (por ello su nombre está en náhuatl); también se han encontrado vestigios muy similares atribuidos a los olmecas, quienes quizá heredaron solo las bases de este tipo de herramienta a los mayas.

3.      Civilización Griega: 

Los griegos dieron el mayor avance a las matemáticas, con un uso perfecto de la geometría usando la lógica, después la academia con más aportaciones fue la escuela Pitagórica fundada por Pitágoras, fue ahí donde se dio a conocer el teorema de Pitágoras. Uno de sus personajes importantes es Pitágoras.

“La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.”

“A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable (irracional). Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, Ö2,  es lo que hoy se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

TITULO : prehistoria de la matemática y mente moderna: pensamiento matemático y recursividad en el paleolítico franco-cantábrico

AUTOR : Francisco A. González Redondo , Manuel Martín-Loeches  y Enrique Silván Pobes

PALABRAS CLAVES : pensamiento matemático            comunidad científica             historia de la Matematicas            registro simbólico       historia de la humanidad

IDEA CENTRAL da a conocer los diferentes  tipos de registros simbólicos que realizaron los grupos prehistóricos y que dan fe

RESUMEN En este artículo, en primer lugar, se repasan de forma general distintos tipos de registros simbólicos realizados por los grupos prehistóricos desde los más remotos y probables orígenes de la mente humana moderna. A continuación, se revisan algunas de las más destacadas piezas de la Prehistoria relacionadas con el registro matemático, destacando la importancia (por cantidad y calidad), no suficientemente valorada, de las piezas de este tipo de la región franco-cantábrica. La información anterior, finalmente, nos da pie a destacar la tremenda importancia en este contexto de cuatro plaquitas de hueso hioides de caballo de la Cueva de Altamira, datadas en el Solutrense Superior (c. 18.500 años). Estas plaquitas, al ser un conjunto coherente de elementos interrelacionados, se proponen aquí como la representación de una recursividad, cualidad ésta que se ha considerado como propia y exclusiva del lenguaje humano.

FORMACIÓN DEL NÚMERO EN EL HOMBRE PRIMITIVO

Antes de que existiese un lenguaje capaz de favorecer la comunicación verbal, el hombre primitivo podía observar en la naturaleza fenómenos cuantitativos: un árbol y un bosque, una piedra y un montón de piedras, un lobo y una manada de lobos, etc. Esta distinción entre la unidad y la pluralidad, la estableció, sin duda, muy pronto. Igualmente, la noción de par —dos pies, dos manos, dos ojos, etc.— debió llamar su atención. A partir de estas rudimentarias observaciones, el hombre primitivo extrae gradualmente la idea de comparación y asocia, a cada objeto observado, un signo, una cosa que le sea familiar. Puede así asociar a una colección de objetos observados un grupo de signos o de cosas. Esta colección de signos puede ser muy variada según las tribus o pueblos primitivos: una tribu (o incluso un individuo) utilizará rayas hechas en la madera, en un hueso o en la arena; otra recurrirá a un montón de guijarros o incluso a cocos; y otra preferirá los gestos de la mano (posiciones de la mano sobre una parte del cuerpo) o de la cabeza; etc. La enumeración de un grupo de objetos observados deja paso a la numeración con la aparición de un lenguaje articulado (escrito o hablado). Esta transición corresponde probablemente al cambio de vida del hombre primitivo que se convierte en productor, comerciante, en vez de simple proveedor de alimento. El comerciante necesita un lenguaje articulado para conseguir vender sus productos y debe poseer un sistema de números para contar. El productor evalúa la cantidad de objetos producidos, el número de corderos criados, las pérdidas por robo, y todo esto presupone el conocimiento de un sistema de numeración adecuado al tipo de vida del hombre primitivo. La numeración presenta también variantes según las tribus: Por ejemplo, los antiguos sumerios utilizaban las palabras «hombre», «mujer» y «varios», en lugar de «uno», «dos» y «tres», respectivamente. Así el hombre simboliza el número 1.

AGRUPAMIENTO DE LOS NÚMEROS

Si los signos para representar los números precedieron cronológicamente a las palabras, el agrupamiento de los signos (rayas verticales, guijarros, dedos de la mano, etc.) influenció sin duda, de manera directa, la base del sistema de numeración elegido. Parece que las tribus más primitivas utilizaron primero el agrupamiento de dos en dos, después de cuatro en cuatro y de seis en seis. Ocasionalmente, las variantes corresponden a agrupamientos de tres en tres (tribus americanas). Un sistema muy natural y en boga corresponde a los dedos de la mano y puede así implicar agrupamientos de cinco en cinco (dedos), de diez en diez (dedos) y de veinte en veinte (dedos de los pies y de las manos). En un principio, este sistema presenta la ventaja, no solamente de preferir agrupamientos naturales y fácilmente accesibles, sino también de favorecer, por la «disposición» de los dedos, una distinción entre número cardinal y número ordinal. Estos agrupamientos de cinco, diez y veinte objetos aparecen en varias partes del mundo. Otros agrupamientos fueron también utilizados por ciertas tribus primitivas, especialmente los agrupamientos de doce, de sesenta y de ocho

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

La necesidad de un sistema de numeración proviene de la naturaleza de las actividades propias de un pueblo primitivo. Las tribus que poseían grandes rebaños domesticados o que practicaban una agricultura diversificada y desarrollada sintieron muy pronto la necesidad de elaborar un sistema que les permitiese utilizar números grandes y favoreciese la invención de un calendario. ¿Cuáles son los procedimientos utilizados durante la prehistoria (o que tienen en ella su origen) y que dieron lugar a los diferentes sistemas de numeración? Un primer procedimiento consiste en prolongar el agrupamiento añadiendo unidad a unidad. Por ejemplo, si el hombre primitivo utiliza los cinco dedos de su mano izquierda como agrupamiento, utilizará los dedos (uno a uno) de su mano derecha para prolongar la cuenta hasta diez. Otra posible extensión consistiría en utilizar los dedos de los pies. Este procedimiento, aunque muy simple, introduce dificultades enormes en el lenguaje, puesto que requiere la creación de nuevas palabras. Otro procedimiento, mucho más eficaz, consiste en utilizar el principio de la «repetición» en la numeración de los objetos contados.

Las civilizaciones de la época neolítica o prehistórica, caracterizadas por la caza y una agricultura y un comercio rudimentarios, manifestaron interés por el número y la geometría empírica. Este comienzo de las matemáticas fue originado por las necesidades de su vida social y económica, y estuvo influenciado también por la religión y la magia. Los hombres primitivos desarrollaron sistemas de numeración (de tipo aditivo no posicional) que les

Permitían efectuar cálculos elementales con números naturales (adición, sustracción, multiplicación). La geometría empírica del hombre primitivo se reduce a algunas reglas para medir longitudes y volúmenes. Los dibujos de rico colorido contienen figuras geométricas en las que predomina la simetría. La mayoría de los pueblos primitivos inventaron un calendario lunar.

 OPINION CRIRICA PERSONAL

La historia de la matemáticas ha estado marcado por la necesidad que ha tenido el hombre de subexistir y poder tener un sistema organizado para hacer e conteo de las cosas y objetos. a través de la historia y la distintas civilizaciones la matemáticas ha tenido un  avance , si podemos ver primero se contaba con piedras , piernas y la partes del cuerpo y todo el sistema que pudiera ser contado y organizado . también se apoyaron de las imágenes y a través de los jeroglíficos pudieron desenvolverse contando hasta que poco a poco fueron mejorando hasta obtener un sistema organizado de enumeración y simbolización en las matemáticas .

APLICACION EN DOCENCIA / VIDA  PERSONAL

La aplicación de las matemáticas a través de la historia no ha cambiado mucho, si vemos en los primeros grados de escolaridad iniciamos el conteo de los números  a  través de objetos y partes del cuerpo y poco a poco de acuerdo al nivel de complejidad de cada año escolar se va avanzando y se va trabajando las matemáticas de una manera que se va evidenciando los aportes de la historia de la matemáticas, para buscar  la perfección de cada sistema. La matemáticas en la vida escolar y cotidiana esta inmersa de manera significativa, sin querer queriendo usamos las matemáticas en nuestra vida diaria para defendernos y tener un control de organización en la contabilidad , de igual manera para resolver problemas de la vida cotidiana empleando la lógica matemática y los diferentes pensamientos matemáticos que esta abarca .

                                                                    ENGLISH

1. Egyptian Civilization:

In the middle of the desert emerged one of the most splendid civilizations in history. The Egyptians were a people that not only flourished intellectually, but also came forward to many things that we know today as art, knowledge about cultivation, astronomical beliefs, and their great contribution to today's mathematics. They managed to make their culture an almost impenetrable empire, of course this was not overnight, but was the result of the effort they had for many years, perhaps centuries, collecting and adopting aspects, data and things from other cultures.

The Egyptians had great contributions to mathematics as the decimal system, they knew how to calculate the surface, the volume of pyramids, cylinder and sphere, algebra, in astronomy the solar calendar, sundials (gnomes) and water (clepsydras).

In ancient Egypt, two types of numbering were used. One, written in hieroglyphs, was a decimal system, with different signs for 10, 100, 1000, etc., which was used in the Predynastic period. The second, the hieratic system, written with a new type of figures that assimilated a number to a symbol, differed from the hieroglyphic system by simplifying the symbols in order to write faster, and began around 2150 a. C.

Geometry: The word Geometry refers to "measuring the earth". In Egypt, year after year, the Nile flooded the fields, destroying with its silt the carefully drawn divisions. When the waters returned to their course, the farmers had to draw again the limits of the properties of each owner. Farmers and pyramid builders drew perpendicular lines on the ground, using a rope of twelve equidistant knots. With this method they drew rectangle triangles of sides 3, 4 and 5 on the ground. For the construction of the impressive pyramids, covered with hieroglyphics, the Egyptians obtain formulas that apply according to their needs. The statement of one of the 28 problems of the papyrus of Moscow, seems to corroborate that the Egyptians knew the formula to calculate the volume of a pyramid trunk: Being a, b the lengths of the sides of the base of the pyramid and h the height.

2. Maya Civilization: Perhaps your need for precision to measure time and understand the sky was the engine of the Mayan mastery of mathematics. The sky, and the time, were together fundamental themes that fascinated the Mayans. For the study of both, it was necessary to have very accurate counting tools, and perhaps that is why the Mayans developed their study of mathematics perhaps like no other civilization in the world. On its mathematical development, the Mayas called the attention of the world, among others by the following remarkable characteristics: • Created the zero It seems obvious, the use of zero. Although the curious thing is that the abstraction that represents zero actually starts from a great understanding, both for the representation of complex numbers, and in the understanding that there can also be negative numbers. This seems to be a truism, in reality it is a basic tool that greatly facilitates the understanding of the universe of numbers. Apparently only two cultures managed to develop the abstraction of zero: the Maya and the Hindu, although the Mayans went ahead some 600 years.

3. Greek Civilization: The Greeks gave the greatest advance to mathematics, with a perfect use of geometry using logic, then the academy with the most contributions was the Pythagorean school founded by Pythagoras, it was there that the theorem of Pythagoras. One of his important characters is Pythagoras.

"The most important innovation was the invention of abstract mathematics based on a logical structure of definitions, axioms and demonstrations. According to the Greek chroniclers, this advance began in the sixth century BC. with Thales of Miletus and Pythagoras of Samos. The latter taught the importance of the study of numbers to understand the world. Some of his disciples made important discoveries about number theory and geometry, which are attributed to Pythagoras himself.

In the fifth century BC, some of the most important geometers were the atomist philosopher Democritus of Abdera, who found the correct formula for calculating the volume of a pyramid, and Hippocrates of Cos, who discovered that the area of ​​geometric figures in the form of an average Moon limited by circular arcs are equal to those of certain triangles.